人的記憶力會(huì)隨著歲月的流逝而衰退,，寫(xiě)作可以彌補(bǔ)記憶的不足，將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來(lái),，也便于保存一份美好的回憶,。范文書(shū)寫(xiě)有哪些要求呢,？我們?cè)鯓硬拍軐?xiě)好一篇范文呢,？以下是我為大家搜集的優(yōu)質(zhì)范文,，僅供參考,，一起來(lái)看看吧

余弦定理實(shí)例篇一

秭歸二中董建華

我今年教高一（3）、一（7）班兩班數(shù)學(xué),，在證明余弦定理時(shí),，上午第二節(jié)在一（3）班上數(shù)學(xué)，在證明余弦定理時(shí),，我是這樣上課的：

同學(xué)們,，前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理及其證，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們考慮這樣一個(gè)問(wèn)題,，已知三角形的兩邊及夾角如何求夾角的對(duì)邊,。

即：在△abc中，已知ac?b,bc?a,及?c,，求c,。

請(qǐng)同學(xué)們思考后回答這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們沉默了

三五分鐘,，開(kāi)始相互討論,，并得出了如下解法：

過(guò)a作ad?bc于d，是ad＝acsinc?bcsinc,，cd?accos?bcosc,在rt?abd中,，ab2?ad2?bd2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，用的是初中的知識(shí),，我們請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)想,，我們學(xué)了向量，能否用向量的知識(shí)加以證明呢,？

表現(xiàn)出一片茫然,，并開(kāi)始畫(huà)圖分析，討論終于得出

????????????????????????????2????????????2????2????????ab?ab?(ac?bc)?(ac?bc)?ac?2ac?bc?bc?ac?2|ac|?|bc|

????2?cos(180?b)?bc?b2?2abcosb?a2,，即,。c2?a2?b2?2abcosc 這樣一個(gè)余弦定理證明下來(lái)，同學(xué)們分析,、觀察,、討論用了近30分鐘。我覺(jué)得這樣上課太浪費(fèi)時(shí)間,，這么簡(jiǎn)單的問(wèn)題,，花這么多時(shí)間去討論。

于是我在一（7）班一上課就開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的說(shuō)：“前面我們學(xué)習(xí)了正弦定理及其證明,，這節(jié)課我們主要分析余弦定理,，即：，a2?b2?c2?2bccosa,b2?a2?c2?2accosb,c2?a2?b2?2abcosc ”

現(xiàn)在我們來(lái)證明c2?a2?b2?2abcosc ：

????????????????2????????????????證：?ab?ac?bc?ab?ab=（ac?bc）（?ac

?????2????????????2?ac?2ac?bc?bc?b2?2bacosc?a

2即：c2?a2?b2?2abcosc,，同理可證其余兩個(gè),，同學(xué)們聽(tīng)懂了沒(méi)有，大家齊答聽(tīng)懂了。前后不過(guò)5 分鐘左右的時(shí)間,，我當(dāng)時(shí)還感覺(jué)我講得不錯(cuò),，反正只要學(xué)生聽(tīng)懂了就行。

結(jié)果一個(gè)星期后,，有一個(gè)小測(cè)驗(yàn),，試卷上剛好有一題是用向量的方法證明余弦定理，成績(jī)下來(lái),，一（3）班有41人做對(duì)了此題,，一（7）班僅有7人做對(duì)了此題。兩個(gè)平行班,，一個(gè)老師教,，方法不一樣，效果卻相差如此之大,，我對(duì)此進(jìn)行了案例反思,。

反思案例：

1、定理的證明重在教師引導(dǎo),，放手讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn),、觀察、分析得出結(jié)論,，如采取注入式教師,，雖老師一教學(xué)生能聽(tīng)懂，但畢竟不比自己親手得出的東西印象深刻,。

2,、引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，表面上看浪費(fèi)了許多時(shí)間,，但教會(huì)了學(xué)生學(xué)習(xí)的方法,，以后遇到許多類(lèi)似的問(wèn)題根本不需老師重復(fù)去教，學(xué)生自己會(huì)分析,，所以從整體上節(jié)約了時(shí)間,。

3、我在前一節(jié)課完全是以學(xué)生為主體,，后一節(jié)課完全是以老師為主體,，在課堂教學(xué)中，應(yīng)將教師的主導(dǎo)作用將學(xué)生的主體作用表現(xiàn)出來(lái),，讓教學(xué)效果達(dá)到更優(yōu)化,。

總之，通過(guò)兩節(jié)課,，效果的比較,，使我認(rèn)識(shí)到在課堂上要充分引導(dǎo)學(xué)生去分析,、觀察、發(fā)現(xiàn),、討論,、探究問(wèn)題，讓學(xué)生做課堂的演員,，教師僅僅是節(jié)目的主持人,，分工明確，一節(jié)課才是一節(jié)完整的課,。

余弦定理實(shí)例篇二

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”----“余弦定理”教學(xué)案例分析

作者： 王兵 發(fā)布日期：2007-11-1

摘要]： 辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀和建構(gòu)主義教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀指導(dǎo)下的“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”教學(xué)實(shí)驗(yàn),，旨在培養(yǎng)學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí),，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、形成獨(dú)立思考的習(xí)慣,，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意和實(shí)踐能力。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是前提,，提出問(wèn)題是重點(diǎn),，解決問(wèn)題是核心，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)是目的,，因此所設(shè)情境要符合學(xué)生的“最發(fā)展區(qū)”,。“余弦定理”具有一定廣泛的應(yīng)用價(jià)值,，教學(xué)中我們從實(shí)際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境,。

關(guān)鍵詞]： 余弦定理；解三角形,；數(shù)學(xué)情境,、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)背景

近幾年教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)這樣的怪現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要,，但很難,；學(xué)得很苦、太抽象,、太枯燥,，要不是升學(xué)，們才不會(huì)去理會(huì),，況且將來(lái)用數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)很少,；許多學(xué)生完全依賴(lài)于教師的講解，不會(huì)自學(xué),，不敢提問(wèn)題,，也不知如何提問(wèn)題,。說(shuō)明了學(xué)生一是不會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，二是對(duì)數(shù)學(xué)有恐懼感,，沒(méi)有信心,，這樣的心態(tài)怎能對(duì)數(shù)學(xué)有所創(chuàng)新呢？即使有所創(chuàng)新那與學(xué)生們所代價(jià)也不成比例,，其間扼殺了他們太多的快樂(lè)和個(gè)性特長(zhǎng),。建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué)，認(rèn)為多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān),，只有在決與現(xiàn)實(shí)世界相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題中,，所建構(gòu)的知識(shí)才將更豐富、更有效和易于遷移,。我們?cè)?2003級(jí)進(jìn)行了“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)問(wèn)題”教學(xué)實(shí)驗(yàn),，通過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，多數(shù)同學(xué)已能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式,，平時(shí)能主動(dòng)思考,，敢于提出自己關(guān)心的問(wèn)題和想，從過(guò)去被動(dòng)的接受知識(shí)逐步過(guò)渡到主動(dòng)探究,、索取知識(shí),，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。,、教材分析

余弦定理”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（試驗(yàn)修訂本 ?必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之一,，是解決有關(guān)三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓,，它是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的體運(yùn)用,，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具,，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,。本節(jié)課是正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課,，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理,，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出,，學(xué)生是被動(dòng)的,、消極的知識(shí)的接受者，而是主動(dòng)的,、積極的知識(shí)的探究者,。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去考,，參與知識(shí)獲得的過(guò)程,。因此,，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí),，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí),，體會(huì)聯(lián)系、展等辯證觀點(diǎn),，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力,，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力,。,、設(shè)計(jì)思路

構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的,。在日常生活中,，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗(yàn),，小到身邊的衣食行，大到宇宙,、星體的運(yùn)行,，從自然現(xiàn)象到社會(huì)生活，他們幾乎都有一些自己的看法,。而且,，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn),，但當(dāng)問(wèn)題一旦呈現(xiàn)在面前時(shí),，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，依靠他們的認(rèn)知能力,，形成對(duì)問(wèn)題的某種解釋,。且，這種解釋并不都是胡亂猜測(cè),，而是從他們的經(jīng)驗(yàn)背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè),。所以，教學(xué)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn),，起爐灶,，從外部裝進(jìn)新知識(shí)，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的識(shí)經(jīng)驗(yàn),。

此我們根據(jù)“情境--問(wèn)題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境--提出問(wèn)題--解決問(wèn)題--反思應(yīng)用”這條主線,，把從情境中探索和提出數(shù)問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),，以“問(wèn)題”為紅線組織教學(xué),，形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體,，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力,、驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程,。根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景,；②啟發(fā),、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化,、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題,，解決問(wèn)題時(shí)需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,，揭示解三角形的必要性,，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),，引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知角形的兩條邊和他們的夾角,，求第三邊。③為了解決提出的問(wèn)題,，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),，通過(guò)邊bc的垂線得到兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達(dá)式,，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明,。

；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系,。④由明時(shí),，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：一是證明的起點(diǎn)

生獨(dú)立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問(wèn)題,。,、教學(xué)過(guò)程、設(shè)置情境

動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)箱采用液壓機(jī)構(gòu),。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿 bc的長(zhǎng)度（如下圖）,，已知車(chē)箱的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)b與箱支點(diǎn)a之間的距離為1.95m,，ab與水平線之間的夾角為6°20′,，ac的長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算bc的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）,。,、提出問(wèn)題

：大家想一想,，能否把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題？（數(shù)學(xué)建模）,，在三角形 abc,，已知ab＝1.95m,ac＝1.40m，∠bac＝60°＋6°20′＝66°20′,，求bc的長(zhǎng),。

：能用正弦定理求解嗎？為什么,？

能,。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角,；已知三角形的兩角與一邊,，求角的對(duì)邊。

：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么,？

三角形中,，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊,。（一般化）三角形 abc,，知ac＝b，bc＝a,，角c，求ab,。,、解決問(wèn)題

：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí),，是怎樣處理的,？

從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法,。（特殊化）

以先在直角三角形中試探一下,。

角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角c為直角）斜三角形abc中（如圖3），過(guò)a作bc邊上的高ad,，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直三角形,。（聯(lián)想構(gòu)造）

：垂足 d一定在邊bc上嗎？

一定,，當(dāng)角 c為鈍角時(shí),，點(diǎn)d在bc的延長(zhǎng)線上。

分類(lèi)討論,，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問(wèn)題）

銳角三角形 abc中,，過(guò)a作ad垂直bc交bc于d,，在直角三角形adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中,，ad＝acsinc, ＝accosc 即ad＝bsinc, cd＝bcosc bd＝bc-cd,即bd＝a-bcosc

c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c 2 +b 2-2abcosc 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb 鈍角三角形 abc中，不妨設(shè)角c為鈍角,，過(guò)a作ad垂直bc交bc的延長(zhǎng)線于d,，直角三角形 adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中,，ad＝acsin（π-c）,cd＝accos（π-c），即ad＝bsinc, cd-bcos c,，又bd＝bc＋cd,即bd＝a-bcosc

c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c 2 +b 2-2abcosc 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb 理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb ：大家回想一下,，在證明過(guò)程易出錯(cuò)的地方是什么？,、反思應(yīng)用

：同學(xué)們通過(guò)自己的努力,，發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系,，請(qǐng)大家考慮一下,，余弦定能夠解決哪些問(wèn)題？

三求一,，即已知三角形的兩邊和它們的夾角,，可求另一邊；已知三角形的三條邊,，求角,。

弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

：請(qǐng)同學(xué)們用余弦定理解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題,。（請(qǐng)一位同學(xué)將他的解題過(guò)程寫(xiě)在黑板上）

：由余弦定理,，得

＝ab 2 ＋ac 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′

3.571 bc≈1.89(m)：頂桿 bc約長(zhǎng)1.89m。

：大家回想一想,，三角形中有六個(gè)元素,，三條邊及三個(gè)角，知道其中任意三個(gè)元素,，是否能求出另外的三個(gè)元素,？

能，已知的三個(gè)元素中,，至少要有一個(gè)邊,。

：解三角形時(shí)，何時(shí)用正弦定理？何時(shí)用余弦定理,？

知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角或兩角與一角的對(duì)邊,，解三角形時(shí)，利用正弦定理,；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊,，解角形時(shí)，利用余弦定理,。

固練習(xí)：課本第 131頁(yè)練習(xí)1⑵,、2⑵、3⑵,、4⑵,、教學(xué)反思

課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境,，通過(guò)學(xué)生自主探索,、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題,、解決問(wèn)題,、應(yīng)用反思的過(guò)程，學(xué)生成為弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè),，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo),、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí),，為今后的定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。

設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié),，教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn),、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容,、教學(xué)目標(biāo)等因素行綜合考慮，對(duì)可用的情境進(jìn)行比較,，選擇具有較好的教育功能的情境,。

應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境,，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一,。“余弦定理”具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,，故本課中從應(yīng)用需出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境,。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應(yīng)用舉例的例1。實(shí)踐說(shuō)明，這種將教材中的例題,、題作為素材改造加工成情境,，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑。只要教師能對(duì)教材進(jìn)行深入,、細(xì)致,、全面的研究，便不難發(fā)現(xiàn)教材中不少可用的素材,。

情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”教學(xué)模式主張以問(wèn)題為“紅線”組織教學(xué)活動(dòng),，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題是學(xué)成敗的關(guān)鍵,，教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明,，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ),、生活經(jīng)歷,、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所的環(huán)境,、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約,。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境（不僅具有豐富的內(nèi)涵,，而且還具有問(wèn)題”的誘導(dǎo)性,、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度,，提高引導(dǎo)水平,，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題,。關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平,，更關(guān)注學(xué)生在數(shù)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感與態(tài)度,；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程．把“質(zhì)疑提問(wèn)”,，培養(yǎng)學(xué)

的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí),，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿。

余弦定理實(shí)例篇三

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”----“余弦定理”教學(xué)案例分析

作者：王兵 發(fā)布日期：2007-11-

1[摘要]：辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論,、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀和建構(gòu)主義教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀指導(dǎo)下的“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”教學(xué)實(shí)驗(yàn),，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,、形成獨(dú)立思考的習(xí)慣,，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是前提,，提出問(wèn)題是重點(diǎn),，解決問(wèn)題是核心，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)是目的,，因此所設(shè)情境要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,。“余弦定理”具有一定廣泛的應(yīng)用價(jià)值,，教學(xué)中我們從實(shí)際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境,。

[關(guān)鍵詞]：余弦定理；解三角形,；數(shù)學(xué)情境

一,、教學(xué)設(shè)計(jì)

1、教學(xué)背景

在近幾年教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)這樣的怪現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要,，但很難,；學(xué)得很苦、太抽象,、太枯燥,，要不是升學(xué)，我們才不會(huì)去理會(huì),，況且將來(lái)用數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)很少,；許多學(xué)生完全依賴(lài)于教師的講解，不會(huì)自學(xué),，不敢提問(wèn)題,，也不知如何提問(wèn)題。這說(shuō)明了學(xué)生一是不會(huì)學(xué)數(shù)學(xué),，二是對(duì)數(shù)學(xué)有恐懼感,，沒(méi)有信心，這樣的心態(tài)怎能對(duì)數(shù)學(xué)有所創(chuàng)新呢,？即使有所創(chuàng)新那與學(xué)生們所花代價(jià)也不成比例,，其間扼殺了他們太多的快樂(lè)和個(gè)性特長(zhǎng)。建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué),，認(rèn)為多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān),，只有在解決與現(xiàn)實(shí)世界相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題中，所建構(gòu)的知識(shí)才將更豐富,、更有效和易于遷移。我們?cè)?2003級(jí)進(jìn)行了“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問(wèn)題”教學(xué)實(shí)驗(yàn),，通過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)驗(yàn),，多數(shù)同學(xué)已能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式，平時(shí)能主動(dòng)思考，敢于提出自己關(guān)心的問(wèn)題和想法,，從過(guò)去被動(dòng)的接受知識(shí)逐步過(guò)渡到主動(dòng)探究,、索取知識(shí)，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,。

2,、教材分析

“余弦定理”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（試驗(yàn)修訂本 ?必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要定理之一,，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓,，它是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn),、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具,，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)課是“正弦定理,、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課,，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”,。布魯納指出,，學(xué)生不是被動(dòng)的、消極的知識(shí)的接受者,，而是主動(dòng)的,、積極的知識(shí)的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境,，引導(dǎo)學(xué)生去思考,，參與知識(shí)獲得的過(guò)程。因此,，做好“余弦定理”的教學(xué),，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí),，體會(huì)聯(lián)系,、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力,，以及提出問(wèn)題,、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

3,、設(shè)計(jì)思路

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào),，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中,，在以往的學(xué)習(xí)中,，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗(yàn),，小到身邊的衣食住行，大到宇宙,、星體的運(yùn)行,，從自然現(xiàn)象到社會(huì)生活，他們幾乎都有一些自己的看法,。而且,，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，沒(méi)有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn),，但當(dāng)問(wèn)題一旦呈現(xiàn)在面前時(shí),，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，依靠他們的認(rèn)知能力,，形成對(duì)問(wèn)題的某種解釋,。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測(cè),，而是從他們的經(jīng)驗(yàn)背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè),。所以，教學(xué)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn),，另起爐灶,，從外部裝進(jìn)新知識(shí)，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),。

為此我們根據(jù)“情境--問(wèn)題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境--提出問(wèn)題--解決問(wèn)題--反思應(yīng)用”這條主線,，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),，以“問(wèn)題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈,，使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體,，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí),、發(fā)展能力,、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。根據(jù)上述精神,，做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景,；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化,、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決問(wèn)題時(shí)需要使用余弦定理,，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,，揭示解斜三角形的必要性,，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),，引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊,。③為了解決提出的問(wèn)題,，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)作邊bc的垂線得到兩個(gè)直角三角形,，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達(dá)式,，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時(shí),，關(guān)鍵在于啟發(fā),、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：一是證明的起點(diǎn)；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系,。④由學(xué)生獨(dú)立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問(wèn)題,。

二、教學(xué)過(guò)程

1,、設(shè)置情境

自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)箱采用液壓機(jī)構(gòu),。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿 bc的長(zhǎng)度（如下圖），已知車(chē)箱的最大仰角為60°,，油泵頂點(diǎn)b與車(chē)箱支點(diǎn)a之間的距離為1.95m,，ab與水平線之間的夾角為6°20′，ac的長(zhǎng)為1.40m,，計(jì)算bc的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）,。

2、提出問(wèn)題

師：大家想一想,，能否把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,？（數(shù)學(xué)建模）

能，在三角形 abc,，已知ab＝1.95m,ac＝1.40m,，∠bac＝60°＋6°20′＝66°20′，求bc的長(zhǎng),。

師：能用正弦定理求解嗎,？為什么？

不能,。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角,，求另一邊的對(duì)角；已知三角形的兩角與一邊,，求角的對(duì)邊,。師：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么,？

在三角形中，已知兩邊和它們的夾角,，求第三邊,。（一般化）三角形 abc，知ac＝b,，bc＝a,，角c，求ab,。

3,、解決問(wèn)題

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí),，是怎樣處理的,？ 先從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法,。（特殊化）可以先在直角三角形中試探一下,。

直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角c為直角）斜三角形abc中（如圖3），過(guò)a作bc邊上的高ad,，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,。（聯(lián)想構(gòu)造）師：垂足 d一定在邊bc上嗎？

不一定,，當(dāng)角 c為鈍角時(shí),，點(diǎn)d在bc的延長(zhǎng)線上。（分類(lèi)討論,，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問(wèn)題）

在銳角三角形 abc中,，過(guò)a作ad垂直bc交bc于d，在直角三角形adb中,，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中，ad＝acsinc, cd＝accosc 即ad＝bsinc, cd＝bcosc 又 bd＝bc-cd,即bd＝a-bcosc

∴ c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2

=b 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c =a 2 +b 2-2abcosc 同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb

在鈍角三角形 abc中,，不妨設(shè)角c為鈍角,，過(guò)a作ad垂直bc交bc的延長(zhǎng)線于d，在直角三角形 adb中,，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中，ad＝acsin（π-c）,cd＝accos（π-c）,，即ad＝bsinc, cd＝-bcos c,，又bd＝bc＋cd,即bd＝a-bcosc

∴ c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2

=b 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c =a 2 +b 2-2abcosc

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb

同理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb

師：大家回想一下，在證明過(guò)程易出錯(cuò)的地方是什么,？

4,、反思應(yīng)用

師：同學(xué)們通過(guò)自己的努力,，發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系,，請(qǐng)大家考慮一下,，余弦定理能夠解決哪些問(wèn)題？

知三求一,，即已知三角形的兩邊和它們的夾角,，可求另一邊；已知三角形的三條邊,，求角。余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,。

師：請(qǐng)同學(xué)們用余弦定理解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題,。（請(qǐng)一位同學(xué)將他的解題過(guò)程寫(xiě)在黑板上）

解：由余弦定理，得

bc 2 ＝ab 2 ＋ac

＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571

∴ bc≈1.89(m)

答：頂桿 bc約長(zhǎng)1.89m,。

師：大家回想一想,，三角形中有六個(gè)元素，三條邊及三個(gè)角,，知道其中任意三個(gè)元素,，是否能求出另外的三個(gè)元素？

不能,，已知的三個(gè)元素中,，至少要有一個(gè)邊。

師：解三角形時(shí),，何時(shí)用正弦定理,？何時(shí)用余弦定理？

已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角或兩角與一角的對(duì)邊,，解三角形時(shí),，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊,，解三角形時(shí),，利用余弦定理。鞏固練習(xí)：課本第 131頁(yè)練習(xí)1⑵,、2⑵,、3⑵、4⑵

三,、教學(xué)反思

本課中,，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索,、合作交流,，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題,、解決問(wèn)題、應(yīng)用反思的過(guò)程,，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，知識(shí)目標(biāo),、能力目標(biāo),、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒,。

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié),，教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平,、教學(xué)內(nèi)容,、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對(duì)可用的情境進(jìn)行比較,，選擇具有較好的教育功能的情境,。

從應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境,，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一,。“余弦定理”具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,，故本課中從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境,。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應(yīng)用舉例的例1。實(shí)踐說(shuō)明,，這種將教材中的例題,、習(xí)題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑,。只要教師能對(duì)教材進(jìn)行深入,、細(xì)致、全面的研究,，便不難發(fā)現(xiàn)教材中有不少可用的素材,。

“情境.問(wèn)題.反思.應(yīng)用”教學(xué)模式主張以問(wèn)題為“紅線”組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體,，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵,，教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ),、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境,、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約,。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境（不僅具有豐富的內(nèi)涵,，而且還具有“問(wèn)題”的誘導(dǎo)性,、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度,，提高引導(dǎo)水平,，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題,。關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平,，更關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感與態(tài)度,；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程．把“質(zhì)疑提問(wèn)”,，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿,。

余弦定理實(shí)例篇四

余弦定理教材微觀分析

（一）教材地位和作用

余弦定理選自人教a版必修五第一章第一節(jié)“正弦定理與余弦定理”,，主要包括正弦定理與余弦定理兩個(gè)概念。本節(jié)內(nèi)容是第2課時(shí),。教材知識(shí)結(jié)構(gòu)主要研究余弦定理的推導(dǎo)及運(yùn)用余弦定理解三角函數(shù),，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)角度看屬于命題課。余弦定理的學(xué)習(xí)建立在正弦定理,、向量運(yùn)算和勾股定理的基礎(chǔ)上,，是勾股定理的推廣和正弦定理的補(bǔ)充，將三角形的邊與角聯(lián)系起來(lái),，實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的互化,，是解三角形的一個(gè)重要方法，為后面應(yīng)用正,、余弦定理測(cè)量距離,、解決有關(guān)三角形的計(jì)算問(wèn)題、證明一些三角恒等式,，判斷三角形形狀打下了一定的基礎(chǔ),。

教材編排從全等三角形的判定方法出發(fā)，引出出問(wèn)題：“如何計(jì)算出三角形第三邊的長(zhǎng)”,。讓學(xué)生通過(guò)已掌握的向量求模的方法化簡(jiǎn)得到余弦定理,。再將勾股定理與余弦公式進(jìn)行比較，得出判斷三角形形狀的方法。這樣安排一是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,，二是讓學(xué)生經(jīng)歷了定理的產(chǎn)生與證明,，加深了對(duì)向量運(yùn)算的理解。

（二）核心內(nèi)容和思想

本節(jié)課的核心內(nèi)容是：余弦定理內(nèi)容及其證明,，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,。因?yàn)橛嘞叶ɡ硎锹?lián)系一般三角形中的邊角關(guān)系的一個(gè)重要工具。從思想方法看,，本節(jié)課蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合,、類(lèi)比思想、轉(zhuǎn)化思想,、方程思想,，教會(huì)學(xué)生解決三角形問(wèn)題的基本方法。

（三）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

余弦定理揭示了三角形中邊和角的數(shù)量關(guān)系,，是解三角形的一個(gè)重要工具,，為今后判斷三角形形狀，證明與三角形有關(guān)的等式與不等式提供了重要依據(jù),，在幾何中有著廣泛應(yīng)用,。所以，教學(xué)重點(diǎn)就是余弦定理的內(nèi)容和在三角形邊角計(jì)算中的應(yīng)用,。

教學(xué)難點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和公式的推導(dǎo),。余弦定理的證明需要運(yùn)用到向量的數(shù)量積或解析幾何中的兩點(diǎn)間距離公式，學(xué)生很難想到運(yùn)用什么方法推出余弦定理,。

（四）分析教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：能夠說(shuō)出余弦定理,，能夠運(yùn)用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題。過(guò)程與方法目標(biāo)：在經(jīng)歷向量求模長(zhǎng)的過(guò)程中探索余弦定理的內(nèi)容,。在運(yùn)用余弦定理解決三角形問(wèn)題中,，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法,。通過(guò)余弦定理和勾股定理的比較,，體會(huì)類(lèi)比的思想方法。

情感,、態(tài)度,、價(jià)值觀目標(biāo)：在余弦定理的證明和應(yīng)用過(guò)程中，感受到數(shù)與形的辯證統(tǒng)一和數(shù)學(xué)的實(shí)用性,。

（五）例題,、習(xí)題的作用和編寫(xiě)意圖

例3是已知三角形兩邊及其夾角，解三角形,，考察學(xué)生對(duì)正,、余弦定理的綜合運(yùn)用能力,。但在運(yùn)用正弦定理時(shí)，正弦值為正,，對(duì)應(yīng)的角可能是銳角,，也可能是鈍角，這就需要學(xué)生綜合三角形的邊和角的大小對(duì)應(yīng)情況作出準(zhǔn)確判斷,。例4是已知三角形三條邊,，解三角形。例題采用的是余弦定理加三角形的內(nèi)角和這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),。通過(guò)這兩道題讓學(xué)生思考運(yùn)用正余弦公式求解三角形的利弊,，歸納出解三角形的問(wèn)題分為幾類(lèi)，分別應(yīng)怎樣求解,。

余弦定理實(shí)例篇五

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創(chuàng)）

余弦定理

一,、教材依據(jù)：人民教育出版社（a版）數(shù)學(xué)必修5第一章 第二節(jié)

二、設(shè)計(jì)思想：

1,、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓,，是解三角形這一章知識(shí)的一個(gè)重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,，是解三角形的重要工具,，余弦定理與平面幾何知識(shí)、向量,、三角形有著密切的聯(lián)系,。因此，做好“余弦定理”的教學(xué),，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí),，體會(huì)聯(lián)系,、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力,，以及提出問(wèn)題,、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

2,、學(xué)情分析：這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理及有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上,，轉(zhuǎn)入對(duì)余弦定理的學(xué)習(xí)，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)熟悉了探索新知識(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程,，具備了一定的分析能力,。

3、設(shè)計(jì)理念：由于余弦定理有較強(qiáng)的實(shí)踐性,，所以在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí),，創(chuàng)設(shè)了一些數(shù)學(xué)情景，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，自己去分析,、探索和證明,。激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,。

4,、教學(xué)指導(dǎo)思想：根據(jù)當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際和本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，我采用的是“問(wèn)題教學(xué)法”,，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容,，提出探究性問(wèn)

找到解決問(wèn)題的方法。

三,、教學(xué)目標(biāo)：

1,、知識(shí)與技能：

理解并掌握余弦定理的內(nèi)容，會(huì)用向量法證明余弦定理,，能用余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角度量問(wèn)題

2．過(guò)程與方法：

通過(guò)實(shí)例,，體會(huì)余弦定理的內(nèi)容，經(jīng)歷并體驗(yàn)使用余弦定理求解三角形的過(guò)程與方法,，發(fā)展用數(shù)學(xué)工具解答現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的能力,。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念,，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想,。通過(guò)余弦定理的應(yīng)用，感受余弦定理在解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題中的意義,。

四,、教學(xué)重點(diǎn)：

通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，證明余弦定理及其推論,，并能應(yīng)用它們解三角形及求解有關(guān)問(wèn)題,。

五、教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的靈活應(yīng)用

六,、教學(xué)流程：

(一)創(chuàng)設(shè)情境,，課題導(dǎo)入：

1、復(fù)習(xí)：已知a=300,c=450,b=16解三角形,。（可以讓學(xué)生板練）

2,、若將條件c=450改成c=8如何解三角形？

設(shè)計(jì)意圖：把研究余弦定理的問(wèn)題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系,，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系,，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)量化

師生活動(dòng)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△abc，bc=a,ac=b,和角c,，求解c,b,a 引出課題：余弦定理

（二）設(shè)置問(wèn)題,，知識(shí)探究

1,、探究：我們可以先研究計(jì)算第三邊長(zhǎng)度的問(wèn)題，那么我們又從那些角度研究這個(gè)問(wèn)題能得到一個(gè)關(guān)系式或計(jì)算公式呢,？ 設(shè)計(jì)意圖：期望能引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的方面去研究,、探索得到余弦定理。

師生活動(dòng)：從某一個(gè)角度探索并得出余弦定理

2,、①考慮用向量的數(shù)量積：如圖 a

c

??????設(shè)cb?a,ca?b,ab?c,那么,，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcoscb 即cab222?a?b?2abcosc,引導(dǎo)學(xué)生證明22222

?b?c?2bccosa?c?a?2cacosb2②還 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用此法來(lái)進(jìn)行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學(xué)生自己總結(jié),，教師補(bǔ)充完整）

（三）典型例題剖析：

1,、例1：在△abc中，已知b=2cm,c=2cm,a=1200,解三角形,。

教師分析,、點(diǎn)撥并板書(shū)證明過(guò)程

總結(jié)：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊,，再由正弦定理求其余各角,。變式引申：在△abc中，已知b=5,c=

53,a=300,解三角形,。

2,、探究：余弦定理是關(guān)于三角形三邊和一個(gè)角的一個(gè)關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式作某些變形,，是否可以解決其他類(lèi)型的解三角形問(wèn)題,？

設(shè)計(jì)意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)式子作某種變形，從而得到解決其他類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題,，這是一種基本的研究問(wèn)題的方法,。

師生活動(dòng)：對(duì)余弦定理作某些變形，研究變形后所得關(guān)系式的應(yīng)用,。因此應(yīng)把重點(diǎn)引導(dǎo)到余弦定理的推論上去,，即討論已知三邊求角的問(wèn)題。

引入余弦定理的推論：cosa=cosb=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosc=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）,、已知三角形三邊,，求三角,。

（2）,、若a為直角，則cosa=0,，從而b2+c2=a2

若a為銳角,，則 cosa>0, 從而b2+c2>a2

若a為鈍角，則 cosa﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求a,、b,、c例2:已知在?abc中,a?23,b?22,c?

先讓學(xué)生自己分析,、思索，老師進(jìn)行引導(dǎo),、啟發(fā)和補(bǔ)充,，最后師生一起求解。

總結(jié)：對(duì)于已知三角形的三邊求三角這種類(lèi)型,，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角,，再用三角形內(nèi)角和定理求出第三角。（可以先讓學(xué)生歸納總結(jié),，老師補(bǔ)充）變式引申：在△abc中,，a:b:c=2:讓學(xué)生板練，師生共同評(píng)判

3,、三角形形狀的判定：

例3：在△abc中,，acosa=bcosb,試確定此三角形的形狀。

（教師引導(dǎo)學(xué)生分析,、思考,，運(yùn)用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關(guān)系來(lái)判定,，在運(yùn)算過(guò)程中,，盡可能地把角的關(guān)系化為邊的關(guān)系；二是利用角之間的關(guān)系來(lái)判定,，將邊化成角,。

變式引申：在△abc中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sina=2sinbcosc,判斷△abc的形狀,。

讓學(xué)生板練,，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題進(jìn)行糾正。

（四）課堂檢測(cè)反饋：

1,、已知在△abc中,，b=8,c=3,a=600,則a=()a 2 b 4 c 7 d 9

6:（3+1),求a,、b,、c,。,、在△abc中,，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△abc的最大角的度數(shù)為（）a 1200 b 900 c 600 d 1500

3,、在△abc中,，a:b:c=1:

3:2,則a：b：c=（）

a 1：2：3 b 2：3：1 c 1：3：2 d 3：1：2

4,、在不等邊△abc中,，a是最大的邊,，若a2

5、在△abc中,，ab=5,，bc=6,，ac=8，則△abc的形狀是（）a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d非鈍角三角形

（五）課時(shí)小結(jié)：

（學(xué)生自己歸納,、補(bǔ)充,，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和歸納概括能力，教師總結(jié)）

運(yùn)用多種方法推導(dǎo)出余弦定理,，并靈活運(yùn)用余弦定理解決解三角形的兩種類(lèi)型及判斷三角形的形狀問(wèn)題,。

（六）課后作業(yè)：課本第10頁(yè)a組3（2）、4（2）,；b組第2題

（七）教學(xué)反思：

本堂課的設(shè)計(jì),，立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，注重提出問(wèn)題,，引導(dǎo)學(xué)生自主探索,、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題,、解決問(wèn)題的過(guò)程,，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受到了創(chuàng)造的苦和樂(lè),，知識(shí)目標(biāo),、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí),。