無論是身處學(xué)校還是步入社會,大家都嘗試過寫作吧,借助寫作也可以提高我們的語言組織能力,。范文書寫有哪些要求呢,?我們怎樣才能寫好一篇范文呢,?這里我整理了一些優(yōu)秀的范文,,希望對大家有所幫助,,下面我們就來了解一下吧,。
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇一
湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書
我們把形如(為常數(shù))
或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,,則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型
例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)
已知正整數(shù),,求證
.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強(qiáng)的不等式,這個不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)
數(shù)圖象可知,,在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖
1即,因?yàn)?,所?所以
.例2求證
.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)
在,又,,上是凹函數(shù),,由圖象知,在區(qū)間上的個矩形的面積之和
小于曲邊梯形的面積,,圖
2即,,所以
.例3證明,。
證明構(gòu)造函數(shù)知,,在區(qū)間
上,,因,,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖3可
個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖
3即
.所以
.二、型
例4若,,求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前
項(xiàng)之和,中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)
可當(dāng)作是某數(shù)列的前
列的通項(xiàng)不等式
成立即可.構(gòu)造函數(shù),,因?yàn)?,作的圖象,由圖4知,,在區(qū)間
上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩
個矩形面積之間,即,,而,故不等式
成立,,從而所證不等式成立.圖
4例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)
處的切線方程為
.的圖象在點(diǎn)
(?。┯帽硎境觯áⅲ┤?;
在內(nèi)恒成立,,求的取值范圍;
(ⅲ)證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng),、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明(ⅲ)不等式
列的前項(xiàng)之和,,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為
左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,則當(dāng)?shù)臄?shù)時,,此式適合,,故只要證當(dāng)
時,即,,也就是要證
.由此構(gòu)造函數(shù),,并作其圖象如圖5所示.由圖知,,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面
積,,即
.圖
5而
故原不等式成立.,,所以,,點(diǎn)評本解法另辟蹊徑,挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義,,通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題,解法雖然綜合性強(qiáng),,但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個新方法新亮點(diǎn),,很值得品味.由例4例5可知,,要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題,,這樣才能化繁為簡、化難為易,,精彩的解法不是空穴來風(fēng)而是理性思維的必然結(jié)果.作者簡介:鄒生書,,男,,1962年12月出生,,湖北陽新縣人.現(xiàn)任教于陽新縣高級中學(xué),,中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師,,黃石市骨干教師.近四年來在《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)通報》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》,、《中學(xué)教研》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》,、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》,、《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》,、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》,、《河北理科教學(xué)研究》,、《數(shù)理天地》,、《數(shù)理化解題研究》等近二十種期刊上發(fā)表教學(xué)教研文章百余篇,在人教網(wǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)欄目發(fā)表文章二十多篇.
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇二
利用定積分證明數(shù)列和型不等式
我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù)型,,求證例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)
.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強(qiáng)的不等式,,這個不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知,,在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函數(shù)圖象可上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖1
即,,因?yàn)椋?所以.例2 求證
.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積,,又,上的個矩形的面積之
上是凹函數(shù),,由圖象知,在區(qū)間
圖
2即,,所以
.例
3證明。
證明
構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上,,因,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖3可知,在個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖3 即
.所以
.二、型
例4 若,,求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為項(xiàng)之和,中間的通項(xiàng)不等式的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時這三個數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前
成立即可.構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,作的圖象,由圖4知,,在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,,以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間,,即,,而,,故不等式
成立,,從而所證不等式成立.例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)處的切線方程為(ⅰ)用表示出(ⅱ)若,; 在內(nèi)恒成立,求的取值范圍,;.的圖象在點(diǎn)(ⅲ)證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng),、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明
(ⅲ)不等式項(xiàng)之和,,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,此式適合即,左邊是通項(xiàng)為,,則當(dāng),故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時,,時,,也就是要證
由此構(gòu)造函數(shù)積,,即,,并作其圖象如圖5所示.由圖知,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面
.圖5
而立.,,所以,,故原不等式成
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇三
利用定積分證明數(shù)列和型不等式
我們把形如(為常數(shù))
或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型
例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)
已知正整數(shù),,求證
.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強(qiáng)的不等式,,這個不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)
數(shù)圖象可知,在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖
1即,,因?yàn)?,所?所以
.例2求證
.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)
在,,又,,上是凹函數(shù),,由圖象知,,在區(qū)間上的個矩形的面積之和
小于曲邊梯形的面積,圖
2即,,所以
.例3證明。
證明構(gòu)造函數(shù)知,,在區(qū)間
上,,因,,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖3可
個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖
3即
.所以
.二,、型
例4若,,求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前
項(xiàng)之和,,中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)
可當(dāng)作是某數(shù)列的前
列的通項(xiàng)不等式
成立即可.構(gòu)造函數(shù),,因?yàn)椋鞯膱D象,,由圖4知,,在區(qū)間
上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,,以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩
個矩形面積之間,即,,而,故不等式
成立,,從而所證不等式成立.圖
4例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)
處的切線方程為的圖象在點(diǎn)
.(?。┯帽硎境觯áⅲ┤?;
在內(nèi)恒成立,求的取值范圍,;
(ⅲ)證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng),、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明(ⅲ)不等式
列的前項(xiàng)之和,,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為
左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,則當(dāng)?shù)臄?shù)時,,此式適合,,故只要證當(dāng)
時,,即,,也就是要證
.由此構(gòu)造函數(shù),,并作其圖象如圖5所示.由圖知,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面
積,,即
.圖5
而
故原不等式成立.,,所以,
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇四
利用定積分證明數(shù)列和型不等式
我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,,則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一,、(為常數(shù))型
例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù),,求證
.分析
這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強(qiáng)的不等式,,這個不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知,,在區(qū)間
并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函
上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖1 即,,因?yàn)?,所?所以
.例2 求證
.證明 構(gòu)造函數(shù)
而函數(shù)在,,又,,上是凹函數(shù),,由圖象知,,在區(qū)間上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖
2即,,所以.例3 證明,。
證明 構(gòu)造函數(shù)可知,,在區(qū)間 上,因,,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖
3個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,圖3
即
.所以
.二,、型
例4 若,求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和,,中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)
可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式
成立即可.構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,作的圖象,,由圖4知,,在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,,以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間,,即,,而,故不等式
成立,,從而所證不等式成立.圖4
例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)處的切線方程為
(?。┯帽硎境?,;
.的圖象在點(diǎn)(ⅱ)若 在內(nèi)恒成立,,求的取值范圍,;
(ⅲ)證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng)、難度大,、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明(ⅲ)不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和,,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為
左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,則當(dāng)?shù)臅r,,此式適合,,故只要證當(dāng) 時,,即,,也就是要證
.由此構(gòu)造函數(shù),,并作其圖象如圖5所示.由圖知,,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積,即
.圖
5而,,所以,,故原不等式成立.點(diǎn)評 本解法另辟蹊徑,挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義,,通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題,,解法雖然綜合性強(qiáng),但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個新方法新亮點(diǎn),,很值得品味.由例4例5可知,,要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題,這樣才能化繁為簡,、化難為易,,