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小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇一

數(shù)學(xué)公式和定理揭示了數(shù)學(xué)知識的基本規(guī)律,，具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征,，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體．要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須對公式和定理有十分正確透徹的理解,，也就是說,，牢固掌握并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和定理是提高數(shù)學(xué)能力的重要前提．在教學(xué)過程中我積累了一些經(jīng)驗，下面我就數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)談?wù)勎业囊恍w會．

在數(shù)學(xué)公式和定理的學(xué)習(xí)中,，需要學(xué)生具備多方面的能力,，如對新舊知識聯(lián)系的理解能力，對數(shù)學(xué)規(guī)律的歸納與探究能力,，對公式與定理的推理與演繹能力,，對知識的存儲、記憶與應(yīng)用能力等．

數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套”,、“公式加例題”的形式,，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生頭腦里只留下公式、定理的外殼,，忽視它們的來龍去脈,，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍．事實上在公式與定理的教學(xué)中一般應(yīng)有如下五個環(huán)節(jié)：引入，推導(dǎo),，條件和特例，應(yīng)用,，最后把它們納入學(xué)生的知識體系．因此,，教師在教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)興趣,，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用,，就能避免學(xué)生的死記硬背，生搬硬套，做到“活學(xué)活用”．

一,、知識引入多樣化,，激發(fā)學(xué)生求知欲

公式、定理的引入是發(fā)展學(xué)生思維,、培養(yǎng)探索能力的首要環(huán)節(jié)．一開始的引入如能把學(xué)生吸引住,，將大大激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們的思維處于最亢奮的狀態(tài)．在平時的教學(xué)中,，我發(fā)現(xiàn),，“開門見山”式的引入雖然省時省力，但學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣,，只等著老師講．而針對不同的公式與定理,，采用多樣化的引入，能很好地吸引學(xué)生,，激發(fā)他們的探究欲望．在教學(xué)實踐中,，我常常采用以下幾種引入的方法：

1、實踐引入：

教師要善于搜集與公式和定理相關(guān)的,、有趣味的模型,，使學(xué)生在接觸課題時，就產(chǎn)生強(qiáng)烈的探求欲望．例如在引入線面垂直的判定定理時,先讓學(xué)生自己動手做一個實驗:如圖,拿一張矩形紙片,對折后略為展開,使矩形被折的一邊緊貼在桌面上,教師告訴學(xué)生,，折痕和桌面是垂直的,，這是為什么呢？學(xué)生一下子被吸引住了,，急切地想知道這是為什么．

2,、類比引入：

數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性，因此新公式,、新定理可以由舊公式,、舊定理通過類比遷移而來． 例如在引入余

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弦定理時，先給出三角形的三邊a,、b,、c,其中c為最大邊．討論c2與a2?b2的關(guān)系．同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過勾股定理，?c?900時有c2?a2?b2．教師向?qū)W生提出這樣的問題,，在斜三角形中a2?b2與c2有什么關(guān)系,？學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?c?900時有c2?a2?b2,；當(dāng)?c?900時有c2?a2?b2．通過對三種三角形的類比,，學(xué)生會有很大的興趣去討論它們之間存在怎樣的一種關(guān)系式．此時教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出在△abc中，三邊a,、b,、c有這樣一種關(guān)系：c2?a2?b2?m．進(jìn)而得出m的符號與?c的關(guān)系．這種引入方法,，使學(xué)生對新公式、新定理不感到突然,，而是舊公式,、舊定理的延伸與擴(kuò)展．

3、發(fā)現(xiàn)法引入：

由于公式是對客觀實踐的抽象,，為了完成這一過程,，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生重涉前人探索之路去發(fā)現(xiàn)公式．這種發(fā)現(xiàn)式的引入，對培養(yǎng)學(xué)生觀察與探究能力有重要作用．在應(yīng)用這種引入方法時,，關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)使學(xué)生感興趣的情景．例如在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時,，我給同學(xué)們講了他們都知道的高斯小時候求1?2???100的故事，并加上了故事的尾巴：“在高斯說出了他的方法后,，老師又提出了新的問題,，請學(xué)生計算1?4?7???98”，大家想一想,，該如何計算,？更一般的等差數(shù)列前n項a1?a2???an的計算公式我們能推導(dǎo)出來嗎?同學(xué)們興致盎然，通過獨立探究與合作討論,，很快就得出了等差數(shù)列前n項和的公式．

二,、重視推導(dǎo)和證明，弄清來龍去脈

公式的推導(dǎo)和定理的證明是教學(xué)的核心．由于第一環(huán)節(jié)恰當(dāng)?shù)匾?，學(xué)生的心理狀態(tài)是“興趣被激發(fā),，對證明、推導(dǎo)有迫切感”,，因此我抓住機(jī)會給予證明．如果在教學(xué)中不重視推導(dǎo),，學(xué)生對它們的來龍去脈就會很模糊．在推導(dǎo)過程的教學(xué)中，我盡量發(fā)揮學(xué)生的主體作用,，能讓學(xué)生推導(dǎo)的就讓學(xué)生推導(dǎo),，并注意指出學(xué)生推導(dǎo)中的錯誤．有些推導(dǎo)過程繁瑣的公式與定理，教師注重分析,，講清為什么用這樣的方法．如果公式和定理有幾種推導(dǎo)方法,，教學(xué)中不是面面俱到，而是讓學(xué)生課后思考不同的推導(dǎo)方法,，在下一節(jié)課上進(jìn)行交流．

三,、強(qiáng)調(diào)條件和特例

公式成立是要有一定條件的．學(xué)生學(xué)習(xí)公式的最大弱點是把公式作為“萬能公式”亂用亂套．因此教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件．如含有正切的三角公式的角的范圍是有限制的．在公式推導(dǎo)完成后，我常常讓學(xué)生做一個小練習(xí),，從中發(fā)現(xiàn)他們忽略條件而產(chǎn)生的錯誤,，讓學(xué)生討論公式應(yīng)用中要注意公式成立的條件．

另外，公式雖具有一定的普遍意義,，但對一些具有特殊條件的情形要給予注意,，這就是公式的特例．如三角誘導(dǎo)公式及倍角公式是兩角和與差公式的特例．而一般結(jié)論往往是特例的發(fā)展與完善．如正弦定理是三角形面積公式的發(fā)展與推廣．

四、注重靈活應(yīng)用,，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于應(yīng)用,，因此，在公式和定理的教學(xué)中,，必須使學(xué)生靈活巧妙地應(yīng)用公式和定理,，提高、培養(yǎng)學(xué)生實際運(yùn)用的能力．在此教學(xué)環(huán)節(jié)中要注意引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用公式．

每個公式本身均可作各種變化,，為了在更廣闊的背景中運(yùn)用公式,，就需要對公式本身進(jìn)各種變形．這一層次的思維量大，可很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．例如：ai（i?1,2,?,n）為正數(shù),，求證

222a12?a2?a2???an?a12?2(a1?a2???an),，可把基本不等式a2?b2?2ab變形為

a2?b2?a?b

2來用．再如求tg200?tg400?tg200tg400的值，是將tg(???)的公式變形使用．

五,、把公式和定理納入學(xué)生的知識體系

數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)性強(qiáng)．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識后,，可以形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，是“同化”與“順應(yīng)”調(diào)節(jié)的辨證統(tǒng)一．“同化”指的是新知識與舊知識相一致時,，新知識被納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,；“順應(yīng)”指的是新知識與舊知識不一致時，對原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)節(jié),，以適應(yīng)新的知識結(jié)構(gòu)．如在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,，判別式小于零的實系數(shù)一元兩次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可同化到學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)中；而|z|2?z?z,，就要學(xué)生將舊知識“順應(yīng)”到新的知識機(jī)構(gòu)中去．因此,，在教學(xué)中我們要注意把新知識納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．為此，我在教學(xué)中充分注意以下幾點：

1,、注意公式推導(dǎo)過程中包含的數(shù)學(xué)思想方法．

在公式與定理的推導(dǎo)過程中,，常常要用到數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般,，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．在推導(dǎo)過程中,，教師常從特殊的情景出發(fā)進(jìn)行分析．例如，在推導(dǎo)sinx?a(|a|?1)解集時,，從a的特殊值開始進(jìn)行分析．在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式時,，要分q?1與q?1兩種情況討論．在教學(xué)中要充分挖掘公式與定理推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)思想方法，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)密性與靈活性．

2,、公式和定理的推廣及引申

由于學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性和教材要求等原因,，中學(xué)數(shù)學(xué)有許多公式和定理是可以推廣的，教會學(xué)生推廣,，讓學(xué)生看清知識的內(nèi)部聯(lián)系,，是把知識納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效途徑．例如三角形面積公式s?11absinc中bsinc就是a邊上的高,它其實就是初中所學(xué)的公式s?ah的另一種新的形式．再如學(xué)2

2習(xí)了祖暅原理后,，讓學(xué)生把它引申到平面幾何的相應(yīng)命題．

3、比較與鑒別

比較與鑒別是把公式和定理納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必由之路．在教學(xué)的后階段,，一般是應(yīng)用所學(xué)新知識來解題．如果僅僅盯住新公式,，學(xué)生就失去一次獨立選擇公式的機(jī)會，這無助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展．特別是公式較多時,，學(xué)生一旦面臨復(fù)雜的問題,，他們會無所適從．因此在教學(xué)中用注意公式的比較

與鑒別，選擇合適的公式解題,，使學(xué)生的解題能力得到發(fā)展．例如有這樣一道題：在△abc中,，已知a?3，b?1,?b?300 ,求c邊的長．如果用正弦定理來解,，要分兩步而且面臨∠a是一解還是兩解的選擇,，而直接用余弦定理就可一步到位．在數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中，教師必須使學(xué)生到達(dá)以下目標(biāo)：一是要用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述公式與定理的內(nèi)容,；二是要學(xué)會分析其條件與結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系,；三是要正確地掌握其證明及推導(dǎo)方法；四是要明確其使用的條件和適用的范圍及應(yīng)用的規(guī)律,；五是要考慮對一些重要的公式和定理能否作適當(dāng)?shù)囊昱c推廣．我們在教學(xué)中,，必須以適當(dāng)?shù)姆绞綄⒐胶投ɡ淼陌l(fā)生發(fā)展過程展示給學(xué)生，讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)獲取知識,，并領(lǐng)悟公式和定理所包含的教學(xué)思想方法,，靈活地掌握知識，應(yīng)用知識,，達(dá)到提高分析問題,，解決問題的能力．

參考資料：

李果民《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模》 廣西教育出版社2003年

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小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇二

基本概念

第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一

概念

（一）整數(shù)整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù),。

自然數(shù)

我們在數(shù)物體的時候,，用來表示物體個數(shù)的1，2,，3??叫做自然數(shù),。

一個物體也沒有，用0表示,。0也是自然數(shù),。

3計數(shù)單位

一（個）、十,、百,、千、萬,、十萬,、百萬、千萬,、億??都是計數(shù)單位,。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進(jìn)制計數(shù)法,。

數(shù)位

計數(shù)單位按照一定的順序排列起來,，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù),，我們就說a能被b整除,，或者說b能整除a。

如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除,，a就叫做b的倍數(shù),，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的,。

因為35能被7整除,，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù),。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的,，其中最小的約數(shù)是1，最大的 約數(shù)是它本身,。例如：10的約數(shù)有1、2,、5,、10，其中最小的約數(shù)是1,，最大的約數(shù)是10,。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身,。3的倍數(shù)有：3,、6、9,、12??其中最小的倍數(shù)是3,，沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0,、2,、4、6,、8的數(shù),，都能被2整除，例如：202,、480,、304，都能被2整除,。

個位上是0或5的數(shù),，都能被5整除，例如：5、30,、405都能被5整除,。

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除,，例如：12,、108、204都能被3整除,。

一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除,，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除,，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除,。

一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除,。例如：16,、404、1256都能被4整除,，50,、325、500,、1675都能被25整除,。

一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除,。例如：1168,、4600、5000,、12344都能被8整除,，1125、13375,、5000都能被125整除,。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù),。

0也是偶數(shù),。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個數(shù),，如果只有1和它本身兩個約數(shù),，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2,、3,、5,、7、11,、13,、17、19,、23,、29、31,、37,、41、43,、47,、53、59,、61,、67、71,、73,、79、83,、89、97,。

一個數(shù),，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù),，例如 4,、6、8,、9,、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),，自然數(shù)除了1外,，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分類,，可分為質(zhì)數(shù),、合數(shù)和1。

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式,。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù),，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù),。

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個數(shù)公有的約數(shù),，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù),。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù),，例如12的約數(shù)有1,、2、3,、4,、6、12,；18的約數(shù)有1,、2、3,、6,、9、18,。其中,，1、2,、3,、6是12和1 8的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù),。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù),，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù),，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì),。

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì),。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時,，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時,，這兩個合數(shù)互質(zhì),，如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì),。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù),，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù),。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1,。

幾個數(shù)公有的倍數(shù),，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個,，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),，如2的倍數(shù)有2、4,、6,、8、10,、12,、14、16,、18 ??

3的倍數(shù)有3,、6、9,、12,、15、18 ?? 其中6,、12,、18??是2、3的公倍數(shù),，6是它們的最小公倍數(shù),。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù),。如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù),。

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的,，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

（二）小數(shù)小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份,、100份,、1000份?? 得到的十分之幾、百分之幾,、千分之幾?? 可以用小數(shù)表示,。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾,，三位小數(shù)表示千分之幾??

一個小數(shù)由整數(shù)部分,、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成,。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里,，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10,。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù),，叫做純小數(shù),。例如： 0.25、0.368 都是純小數(shù),。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù),，叫做帶小數(shù)。例如： 3.25,、5.26 都是帶小數(shù),。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù),。例如： 41.7,、25.3、0.23 都是有限小數(shù),。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù),，叫做無限小數(shù)。例如： 4.33 ?? 3.1415926 ??

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分,，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限,，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分,，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn),，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如： 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ??

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié),。例如： 3.99 ??的循環(huán)節(jié)是“ 9 ”，0.5454 ??的循環(huán)節(jié)是“ 54 ”,。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的,，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如： 3.111 ?? 0.5656 ??

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的,，叫做混循環(huán)小數(shù),。3.1222 ?? 0.03333 ??

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便,，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié),，并在這個循環(huán)節(jié)的首,、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán) 節(jié)只有 一個數(shù)字,，就只在它的上面點一個點,。例如： 3.777 ?? 簡寫作

0.5302302 ?? 簡寫作。

（三）分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份,，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù),。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線,；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù),，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份,；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子,，表示有這樣的多少份。

把單位“1”平均分成若干份,，表示其中的一份的數(shù),，叫做分?jǐn)?shù)單位。

分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),。真分?jǐn)?shù)小于1,。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù),。假分?jǐn)?shù)大于或等于1,。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù),。

約分和通分

把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子,、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分,。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù),，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),，叫做通分,。

（四）百分?jǐn)?shù) 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率 或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來表示,。百分號是表示百分?jǐn)?shù)的符號,。

二

方法

（一）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位,，一級一級地讀,。讀億級、萬級時,，先按照個級的讀法去讀,，再在后面加一個“億”或“萬”字,。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零,。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位,，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有,，就在那個數(shù)位上寫0,。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀,，小數(shù)點讀作“點”,，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候,，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫,，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字,。

5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時,，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀,。

6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線,，再寫分母，最后寫分子,，按照整數(shù)的寫法來寫,。

7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之,，再讀百分號前面的數(shù),，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。

8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式,，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示,。

（二）數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便,，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù),。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù),，寫成近似數(shù),。

1.準(zhǔn)確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便,，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù),。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億,。

2.近似數(shù)：根據(jù)實際需要,，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù),，用一個近似數(shù)來表示,。例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小,，就把尾數(shù)去掉,；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去,，并向它的前一位進(jìn)1,。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億,。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大,，如果位數(shù)相同,，就看最高位，最高位上的數(shù)大,，那個數(shù)就大,；最高位上的數(shù)相同，就看下一位,，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大,。

2.比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分,，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大,；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大,；十分位上的數(shù)也相同的,，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大??

3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大,；分子相同的數(shù),，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的,，先通分,，再比較兩個數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù),，就在1的后面寫幾個零作分母,，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。

2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子,。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡,，不能化成有限小數(shù)的,，一般保留三位小數(shù)。

3.一個最簡分?jǐn)?shù),，如果分母中除了2和5以外,，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù),；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù),，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位,，同時在后面添上百分號,。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉,，同時把小數(shù)點向左移動兩位,。

6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù)),，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù),。

7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù),。

（四）數(shù)的整除

1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除,，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除,，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止,，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù),。

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除,，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積,，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),。

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì),；

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時,，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì),。

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子,、分母；通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止,。

通分的方法：先求出原來的幾個分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù),，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

三

性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里,，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或者同時縮小相同的倍,，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變,。

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化

1.小數(shù)點向右移動一位,，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點向右移動兩位,，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍,；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍??

2.小數(shù)點向左移動一位,，原來的數(shù)就縮小10倍,；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍,；小數(shù)點向左移動三位,，原來的數(shù)就縮小1000倍??

3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補(bǔ)足位,。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外）,，分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù)

2.因為零不能作除數(shù),，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零,。

3.被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母,。

四

運(yùn)算的意義

（一）整數(shù)四則運(yùn)算

1整數(shù)加法：

把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算叫做加法,。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù),，加得的數(shù)叫做和,。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù),。

加數(shù)+加數(shù)=和

一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)

2整數(shù)減法：

已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù),，求另一個加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。

在減法里,，已知的和叫做被減數(shù),，已知的加數(shù)叫做減數(shù),，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù),，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù),。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3整數(shù)乘法：

求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算叫做乘法,。

在乘法里,，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積,。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù),。

一個因數(shù)× 一個因數(shù) =積

一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)

整數(shù)除法：

已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),，求另一個因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里,，已知的積叫做被除數(shù),，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商,。

乘法和除法互為逆運(yùn)算,。

在除法里，0不能做除數(shù),。因為0和任何數(shù)相乘都得0,，所以任何一個數(shù)除以0，均得不到一個確定的商,。

被除數(shù)÷除數(shù)=商

除數(shù)=被除數(shù)÷商

被除數(shù)=商×除數(shù)

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1.小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同,。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算。

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同,。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù),，求另一個加數(shù)的運(yùn)算.3.小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算,；一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾,、百分之幾、千分之幾??是多少,。

4.小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算,。

5.乘方:

求幾個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方,。例如 3 × 3 =32

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1.分?jǐn)?shù)加法：

分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算,。

2.分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同,。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù),，求另一個加數(shù)的運(yùn)算。

3.分?jǐn)?shù)乘法：

分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同,，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算,。

4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5.分?jǐn)?shù)除法：

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),，求另一個因數(shù)的運(yùn)算。

（四）運(yùn)算定律

1.加法交換律：

兩個數(shù)相加,，交換加數(shù)的位置,，它們的和不變，即a+b=b+a,。

2.加法結(jié)合律：

三個數(shù)相加,，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù),；或者先把后兩個數(shù)相加,，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c),。

3.乘法交換律：

兩個數(shù)相乘,，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a,。

4.乘法結(jié)合律：

三個數(shù)相乘,，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù),；或者先把后兩個數(shù)相乘,，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變,，即(a×b)×c=a×(b×c),。5.乘法分配律：

兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加,，即(a+b)×c=a×c+b×c,。

6.減法的性質(zhì)：

從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和,，差不變,，即a-b-c=a-(b+c)。

（五）運(yùn)算法則

1.整數(shù)加法計算法則：

相同數(shù)位對齊,，從低位加起,，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一,。

2.整數(shù)減法計算法則：

相同數(shù)位對齊,，從低位加起,，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十,，和本位上的數(shù)合并在一起,，再減。

3.整數(shù)乘法計算法則：

先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù),，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘,，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來,。

4.整數(shù)除法計算法則：

先從被除數(shù)的高位除起,，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位,； 如果不夠除,，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位,，商就寫在哪一位的上面,。如果哪一位上不夠商1,，要補(bǔ)“0”占位,。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積,，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點,；如果位數(shù)不夠,，就用“0”補(bǔ)足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除,，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊,；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”,，再繼續(xù)除,。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：

先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù),，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”）,，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計算。

8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計算方法: 同分母分?jǐn)?shù)相加減,，只把分子相加減,，分母不變。

9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計算方法: 先通分,，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計算,。

10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計算方法: 整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減,，再把所得的數(shù)合并起來。

11.分?jǐn)?shù)乘法的計算法則: 分?jǐn)?shù)乘整數(shù),，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),，用分子相乘的積作分子,，分母相乘的積作分母。

12.分?jǐn)?shù)除法的計算法則: 甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外）,，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù),。

（六）運(yùn)算順序

1.小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同,。

3.沒有括號的混合運(yùn)算: 同級運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算,；兩級運(yùn)算 先算乘、除法,，后算加減法,。

4.有括號的混合運(yùn)算: 先算小括號里面的，再算中括號里面的,，最后算括號外面的,。

5.第一級運(yùn)算：

加法和減法叫做第一級運(yùn)算。

6.第二級運(yùn)算：

乘法和除法叫做第二級運(yùn)算,。

五

應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用簡單應(yīng)用題

（1）簡單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系,，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡單應(yīng)用題,。

（2）解題步驟：

a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容,，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時,，不丟字不添字邊讀邊思考,，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題,，幫助理解題意,。

b選擇算法和列式計算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么,，要求什么著手,，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義,，分析數(shù)量關(guān)系,，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱,。

c檢驗：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計算過程是否正確,，是否符合題意,。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，馬上改正,。復(fù)合應(yīng)用題

（1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的,，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題,。

（2）含有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題,。

求比兩個數(shù)的和多（少）幾個數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題,。

（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題,。

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和（或差）,。

已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù),，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。

（4）解答連乘連除應(yīng)用題,。

（5）解答三步計算的應(yīng)用題,。

（6）解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法,、乘法和除法的應(yīng)用題,，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu),、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同,，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù),。d答案：根據(jù)計算的結(jié)果,，先口答，逐步過渡到筆答,。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少,，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少,。

b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,，求乙數(shù)是多少。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分,，求剩下的部分,。

-b求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少,，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少,。

c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)比甲數(shù)少多少,，求乙數(shù)是多少,。

(5)解答乘法應(yīng)用題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù),，求總數(shù)。

b求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)是多少,，另一個數(shù)是它的幾倍,，求另一個數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)用題：

a把一個數(shù)平均分成幾份,，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾份的,，求每一份是多少。

b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和每份是多少,，求可以分成幾份,。

c 求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍,。

d已知一個數(shù)的幾倍是多少,，求這個數(shù)的應(yīng)用題。

（7）常見的數(shù)量關(guān)系：

總價= 單價×數(shù)量

路程= 速度×?xí)r間

工作總量=工作時間×工效

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量

3典型應(yīng)用題

具有獨特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題,，通常叫做典型應(yīng)用題,。

（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù),。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù),，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù),。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù),，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù),。

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分,，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)

最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)

最大數(shù)與個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù),。

例：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地,，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度,。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式,。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”,，從甲地到乙地的速度為 100,，所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米,，所用的時間是,，汽車共行的時間為

+ = , 汽車的平均速度為 2 ÷

=75（千米）

（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變,，其變化的規(guī)律是相同的,，這種問題稱之為歸一問題。

根據(jù)求“單一量”的步驟的多少,，歸一問題可以分為一次歸一問題,，兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后,，解題采用乘法還是除法,，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題,。

一次歸一問題,，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一,?！?/p>

兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題,。又稱“雙歸一,。”

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后,，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題,。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題,。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量）,，然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果,。

數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）

例 一個織布工人,，在七月份織布 4774 米，照這樣計算,，織布 6930 米,，需要多少天,？

分析：必須先求出平均每天織布多少米,，就是單一量。693 0 ÷（477 4 ÷ 31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù),，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)）,，通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點：兩種相關(guān)聯(lián)的量,，其中一種量變化,，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通,。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量

單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量= 另一個單位數(shù)量,。

例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米,，6 天修完,。實際 4 天修完，每天修了多少米,？

分析：因為要求出每天修的長度,，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”,。不同之處是“歸一”先求出單一量,，再求總量，歸總問題是先求出總量,，再求單一量,。80 0 × 6 ÷ 4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差,，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題,。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù),。

解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù)

大數(shù)－差=小數(shù)

（和－差）÷2=小數(shù)

和－小數(shù)= 大數(shù)

例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人,，因工作需要臨時從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人,，求原來甲班和乙班各有多少人,？

分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變化,，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個乙班,，即 9 4 － 12，由此得到現(xiàn)在的乙班是（9 4 － 12）÷ 2=41（人）,，乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87（人）,，甲班為 9 4 － 87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題,，叫做和倍問題,。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍,，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù),。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少,。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)

例:汽車運(yùn)輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛,，運(yùn)輸場有大貨車和小汽車各有多少輛,？

分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi),，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng),，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛）,，18 × 5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差,，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題,。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù),。

例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米,，乙繩長 29 米,，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍,，甲乙兩繩所剩長度各多少米,？ 各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段,，長度差沒變,，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（3-1）倍,，以乙繩的長度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù),。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）?乙繩剩下的長度，17 × 3=51（米）?甲繩剩下的長度,，29-17=12（米）?剪去的長度,。

（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題,，一般都是計算路程,、時間、速度,，叫做行程問題,。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間,、路程,、方向、杜速度和,、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答,。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間,。

同時相向而行：相遇時間=速度和×?xí)r間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差,。同時同地同向而行（速度慢的在后,，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。

例 甲在乙的后面 28 千米,，兩人同時同向而行,，甲每小時行 16 千米，乙每小時行 9 千米,，甲幾小時追上乙,？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米,，這是速度差,。

已知甲在乙的后面 28 千米（追擊路程），28 千米 里包含著幾個（16-9）千米,，也就是追擊所需要的時間,。列式 2 8 ÷（16-9）=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型,，它也是一種和差問題,。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度,。

水速：水流動的速度,。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)?船速＋水速

逆速=船速－水速

解題關(guān)鍵：因為順流速度是船速與水速的和,，逆流速度是船速與水速的差,，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題時要以水流為線索,。

解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣? 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時間

路程=逆流速度×逆流航行所需時間

例 一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時行 28 千米，到乙地后,，又逆水 航行,，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時,，已知水速每小時 4 千米,。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r間,，或者逆水速度和逆水的時間,。已知順?biāo)俣群退?速度,，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r間,，逆水所用的時間不知道,，只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時，抓住這一點,，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r間,，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20（千米）2 0 × 2 =40（千米）40 ÷（4 × 2）=5（小時）28 × 5=140（千米）,。

（9）還原問題：已知某未知數(shù),，經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題,，我們叫做還原問題,。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā),，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法,，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系,，然后采用逆運(yùn)算的方法計算推導(dǎo)出原數(shù),。

解答還原問題時注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法,，后算乘除法時別忘記寫括號,。

例 某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班,，三班調(diào) 6 人到二班,，二班調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班,，則四個班的人數(shù)相等,，四個班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個班人數(shù)相等時,，應(yīng)為 168 ÷ 4,，以四班為例，它調(diào)給三班 3 人,，又從一班調(diào)入 2 人,，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38（人）,；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45（人）,。

（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程,、株距,、段數(shù),、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題,。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形,，分清是否封閉圖形,，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹,，然后按基本公式進(jìn)行計算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹=段數(shù)+1

棵樹=總路程÷株距+1

株距=總路程÷（棵樹-1）

總路程=株距×（棵樹-1）

沿周長植樹

棵樹=總路程÷株距

株距=總路程÷棵樹

總路程=株距×棵樹

例 沿公路一旁埋電線桿 301 根,，每相鄰的兩根的間距是 50 米,。后來全部改裝，只埋了201 根,。求改裝后每相鄰兩根的間距,。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一,。列式為 50 ×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,。他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人,，在兩次分配中,，一次有余，一次不足（或兩次都有余）,，或兩次都不足）,，已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題,，叫做盈虧問題,。

解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額）,，用前一個差去除后一個差,，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù),。

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余,，第二次不足，總差額=多余+ 不足

第一次正好,，第二次多余或不足,，總差額=多余或不足

第一次多余，第二次也多余,，總差額=大多余-小多余

第一次不足,，第二次也不足，總差額= 大不足-小不足

例 參加美術(shù)小組的同學(xué),，每個人分的相同的支數(shù)的色筆,，如果小組 10 人,，則多 25 支，如果小組有 12 人,，色筆多余 5 支,。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆,？

分析：每個同學(xué)分到的色筆相等,。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人,，而色筆多出了（25-5）=20 支,，2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支,。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10 × 12+5=125（支）,。

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”,。

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差,、和倍、差倍問題類似,，主要特點是隨著時間的變化,，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的,，因此,，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時,，要善于利用差不變的特點,。

例 父親 48 歲，兒子 21 歲,。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍,？

分析：父子的年齡差為 48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍,，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍,。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍,。列式為： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù),。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法,，假設(shè)全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”,，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù),。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2

如果假設(shè)全是兔子,，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例 雞兔同籠共 50 個頭,，170 條腿。問雞兔各有多少只,？

兔子只數(shù)（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）

雞的只數(shù) 50-35=15（只）

第三章 代數(shù)初步知識

一,、用字母表示數(shù) 用字母表示數(shù)的意義和作用

* 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達(dá)出來,，同時也可以表示運(yùn)算的結(jié)果,。

2用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì),、幾何形體的計算公式

（1）常見的數(shù)量關(guān)系

路程用s表示,，速度v用表示,，時間用t表示,，三者之間的關(guān)系：

s=vt

v=s/t t=s/v

總價用a表示，單價用b表示,，數(shù)量用c表示,，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b

（2）運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c

（3）用字母表示幾何形體的公式

長方形的長用a表示，寬用b表示,，周長用c表示,，面積用s表示。

c=2(a+b)s=ab

正方形的邊長a用表示,，周長用c表示,，面積用s表示。

c=4a s=a2

平行四邊形的底a用表示,，高用h表示,，面積用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示,，高用h表示,，面積用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示,，下底b用表示,，高用h表示，中位線用m表示,，面積用s表示,。

s=(a+b)h/2 s=mh

圓的半徑用r表示，直徑用d表示,，周長用c表示,，面積用s表示。

c=∏d=2∏r s=∏ r2

扇形的半徑用r表示,，n表示圓心角的度數(shù),，面積用s表示,。

s=∏ nr2/360

長方體的長用a表示，寬用b表示,，高用h表示,，表面積用s表示，體積用v表示,。

v=sh

s=2(ab+ah+bh)v=abh

正方體的棱長用a表示,，底面周長c用表示，底面積用s表示,，體積用v表示.s=6a2

v=a3

圓柱的高用h表示,，底面周長用c表示，底面積用s表示,，體積用v表示.s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+2s底

v=sh

圓錐的高用h表示,，底面積用s表示，體積用v表示.v=sh/3 用字母表示數(shù)的寫法

數(shù)字和字母,、字母和字母相乘時,，乘號可以記作“.”，或者省略不寫,，數(shù)字要寫在字母的前面,。

當(dāng)“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫,。

在一個問題中,，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示,。

用含有字母的式子表示問題的答案時,，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號,，要先用括號把含字母的式子括起來,，再在括號后面寫上單位的名稱。

4將數(shù)值代入式子求值

* 把具體的數(shù)代入式子求值時,，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾,，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值,。字母表示的是數(shù),，后面不寫單位名稱。

* 同一個式子,，式子中所含字母取不同的數(shù)值,，那么所求出的式子的值也不相同。

二、簡易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程,。

注意方程是等式,，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可,。

方程和算術(shù)式不同,。算術(shù)式是一個式子，它由運(yùn)算符號和已知數(shù)組成,，它表示未知數(shù),。方程是一個等式,，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算,，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立,。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,，叫做方程的解,。

三、解方程

解方程,，求方程的解的過程叫做解方程,。

四、列方程解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題的意義

* 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法,。

列方程解答應(yīng)用題的步驟

* 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示,；

* 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系,；

* 列方程，解方程,；

* 檢查或驗算,，寫出答案。

3列方程解應(yīng)用題的方法

* 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式,，再找出它們之間的等量關(guān)系,，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過程,，其思考方向是從已知到未知,。

* 分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要,，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程,。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知,。

4列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題,；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長,、面積,、體積計算； d 分?jǐn)?shù),、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,；

e 比和比例應(yīng)用題。

五

比和比例

1比的意義和性質(zhì)

（1）比的意義

兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比,。

“：”是比號,，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項,，比號后面的數(shù)叫做比的后項,。比的前項除以后項所得的商，叫做比值,。

同除法比較,，比的前項相當(dāng)于被除數(shù)，后項相當(dāng)于除數(shù),，比值相當(dāng)于商,。

比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示,，有時也可能是整數(shù),。

比的后項不能是零。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,，可知比的前項相當(dāng)于分子,，后項相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值,。

（2）比的性質(zhì)

比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外）,，比值不變，這叫做比的基本性質(zhì),。

（3）

求比值和化簡比

求比值的方法：用比的前項除以后項,，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù),。

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比,。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前,、后項是互質(zhì)的數(shù),。

（4）比例尺

圖上距離：實際距離=比例尺

要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離,；已知實際距離和比例尺求圖上距離,。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段,，用來表示和地面上相對應(yīng)的實際距離。

（5）按比例分配

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中,，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配,。這種分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾,，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少,。

比例的意義和性質(zhì)

（1）比例的意義

表示兩個比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個數(shù),，叫做比例的項,。

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項,。

（2）比例的性質(zhì)

在比例里,，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì),。

（3）解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì),，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項,。求比例中的未知項,，叫做解比例。

正比例和反比例

（1）成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量變化,，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定,，這兩種量就叫做成正比例的量,，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表示y/x=k(一定）

（2）成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量變化，另一種量也隨著變化,，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定,，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系,。

用字母表示x×y=k(一定)

第四章 幾何的初步知識

一 線和角

（1）線

* 直線

直線沒有端點,；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條,，過兩點只能畫一條直線,。

* 射線

射線只有一個端點；長度無限,。

* 線段

線段有兩個端點,，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中,，線段為最短,。

*平行線

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線,。

兩條平行線之間的垂線長度都相等,。

* 垂線

兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直,，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足,。

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

（2）角

（1）從一點引出兩條射線,，所組成的圖形叫做角,。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊,。

（2）角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角,。

直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角,。

平角：角的兩邊成一條直線,，這時所組成的角叫做平角。平角180°,。

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周,，與另一邊重合。周角是360°,。

二平面圖形

1長方形

（1）特征

對邊相等,，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸,。

（2）計算公式

c=2(a+b)s=ab 2正方形

（1）特征：

四條邊都相等,，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸,。（2）計算公式

c=4a s=a2

3三角形

（1）特征

由三條線段圍成的圖形,。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性,。三角形有三條高,。

（2）計算公式

s=ah/2

（3）分類

按角分

銳角三角形 ：三個角都是銳角。

直角三角形 ：有一個角是直角,。等腰三角形的兩個銳角各為45度,，它有一條對稱軸。

鈍角三角形：有一個角是鈍角,。

按邊分

不等邊三角形：三條邊長度不相等,。

等腰三角形：有兩條邊長度相等,；兩個底角相等；有一條對稱軸,。

等邊三角形：三條邊長度都相等,；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸,。

4平行四邊形

（1）

特征

兩組對邊分別平行的四邊形,。

相對的邊平行且相等。對角相等,，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度,。平行四邊形容易變形。

（2）計算公式

s=ah 5 梯形

（1）特征

只有一組對邊平行的四邊形,。

中位線等于上下底和的一半,。

等腰梯形有一條對稱軸。

（2）公式

s=(a+b)h/2=mh 6 圓

（1）圓的認(rèn)識

平面上的一種曲線圖形,。

圓中心的一點叫做圓心,。一般用字母o表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑,。一般用r表示,。

在同一個圓里，有無數(shù)條半徑,，每條半徑的長度都相等,。

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示,。

同一個圓里有無數(shù)條直徑,，所有的直徑都相等。

同一個圓里,，直徑等于兩個半徑的長度,，即d=2r。

圓的大小由半徑?jīng)Q定,。圓有無數(shù)條對稱軸,。

（2）圓的畫法

把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）,；

把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周,，就畫出一個圓,。

（3）圓的周長

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率,。用字母∏表示,。

（4）圓的面積

圓所占平面的大小叫做圓的面積,。

（5）計算公式

d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r

s=∏r2

7扇形

（1）

扇形的認(rèn)識

一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

圓上ab兩點之間的部分叫做弧,，讀作“弧ab”,。

頂點在圓心的角叫做圓心角。

在同一個圓中,，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān),。

扇形有一條對稱軸。

(2)計算公式

s=n∏r2/360 8環(huán)形

(1)特征

由兩個半徑不相等的同心圓相減而成,，有無數(shù)條對稱軸,。

(2)計算公式

s=∏(r2-r2）

9軸對稱圖形

(1)特征

如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合,，這個圖形就是軸對稱圖形,。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

正方形有4條對稱軸,，長方形有2條對稱軸,。

等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸,。

等腰梯形有一條對稱軸,，圓有無數(shù)條對稱軸。

菱形有4條對稱軸,，扇形有一條對稱軸,。

三 立體圖形

（一）長方體

特征

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

相對的面面積相等,，12條棱相對的4條棱長度相等,。

有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長,、寬,、高。

兩個面相交的邊叫做棱,。

三條棱相交的點叫做頂點,。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面,。

長方體或者正方體6個面的總面積,，叫做它的表面積。計算公式

s=2(ab+ah+bh)v=sh v=abh

（二）正方體

特征

六個面都是正方形

六個面的面積相等

12條棱,，棱長都相等

有8個頂點

正方體可以看作特殊的長方體

計算公式

s表=6a2

v=a3

（三）圓柱

1圓柱的認(rèn)識

圓柱的上下兩個面叫做底面,。

圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高,。

進(jìn)一法：實際中,，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些,，因此，要保留數(shù)的時候,，省略的位上的是4或者比4小,，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法,。2計算公式

s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3

（四）圓錐

圓錐的認(rèn)識

圓錐的底面是個圓,，圓錐的側(cè)面是個曲面。

從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高,。

測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平,，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離,。

把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形,。2計算公式

v= sh/3

（五）球

認(rèn)識

球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面,。

球和圓類似,，也有一個球心，用o表示,。

從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑,，用r表示，每條半徑都相等,。

通過球心并且兩端都在球面上的線段,，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度等于半徑的2倍,，即d=2r,。

計算公式

-第五章 簡單的統(tǒng)計

一

統(tǒng)計表

（一）意義

* 把統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi)，用來反映情況,、說明問題,，這樣的表格就叫做統(tǒng)計表。

（二）組成部分

* 一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分,。表格外部分包括標(biāo)的名稱,，單位說明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭,、橫標(biāo)目,、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個方面。

（三）種類

* 單式統(tǒng)計表：只含有一個項目的統(tǒng)計表,。

* 復(fù)式統(tǒng)計表：含有兩個或兩個以上統(tǒng)計項目的統(tǒng)計表,。

* 百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計表：不僅表明各統(tǒng)計項目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計表。

（四）制作步驟

1搜集數(shù)據(jù)

2整理數(shù)據(jù)：

要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計的內(nèi)容,，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

3設(shè)計草表：

要根據(jù)統(tǒng)計的目的和內(nèi)容設(shè)計分欄格內(nèi)容,、分欄格畫法,，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格,，每格長度,。正式制表：

把核對過的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求,，用簡單,、明確的語言寫上統(tǒng)計表的名稱和制表日期。

二

統(tǒng)計圖

（一）意義

* 用點線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計圖,。

（二）分類條形統(tǒng)計圖

用一個單位長度表示一定的數(shù)量,，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來,。

優(yōu)點：很容易看出各種數(shù)量的多少,。

注意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必須相同,。

取一個單位長度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定,；

復(fù)式條形統(tǒng)計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開,，并在制圖日期下面注明圖例,。

制作條形統(tǒng)計圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線,。

（2）在水平射線上,，適當(dāng)分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔,。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況,，確定單位長度表示多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條,，并注明數(shù)量,。

折線統(tǒng)計圖

用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點,，然后把各點用線段順次連接起來,。

優(yōu)點：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況,。

注意：折線統(tǒng)計圖的橫軸表示不同的年份,、月份等時間時，不同時間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來確定,。

制作折線統(tǒng)計圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小,，畫出兩條互相垂直的射線,。

（2）在水平射線上，適當(dāng)分配折線的位置,，確定直線的寬度和間隔,。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少,。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點,，再用線段順次連接起來，并注明數(shù)量,。

3扇形統(tǒng)計圖

用整個圓的面積表示總數(shù),，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。

優(yōu)點：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系,。

制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟：

（1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾,。

（2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。

（3）取適當(dāng)?shù)陌霃疆嬕粋€圓,，并按照上面算出的圓心角的度數(shù),，在圓里畫出各個扇形。

（4）在每個扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù),，并用不同顏色或條紋把各個扇形區(qū)別開,。

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇三

乘法與因式分解

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)?

a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a-b-√(b^2-4ac)/2a根與系數(shù)的關(guān)系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式

b^2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根

b^2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根 

b^2-4ac<0 注：方程沒有實根，有共軛復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa 

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)

tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)

cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)

cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)

倍角公式

tan2a=2tana/[1-(tana)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^

2半角公式

sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)

cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)

tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化積

2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)

2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b))

2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)

-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)

sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2

cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2-

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/

41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/

3正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注：其中 r 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosb 注：角b是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程 x^2+y^2+dx+ey+f=0 注：d^2+e^2-4f>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

直棱柱側(cè)面積 s=c*h 斜棱柱側(cè)面積 s=c'*h

正棱錐側(cè)面積 s=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 s=1/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積 s=1/2(c+c')l=pi(r+r)l 球的表面積 s=4pi*r2

圓柱側(cè)面積 s=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 s=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

錐體體積公式 v=1/3*s*h 圓錐體體積公式 v=1/3*pi*r2h 

斜棱柱體積 v=s'l 注：其中,s'是直截面面積,，l是側(cè)棱長

柱體體積公式 v=s*h 圓柱體 v=pi*r2h

定理

平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,，所得的對應(yīng) 線段成比例87 推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例

定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例,，那么這條直線平行于三角形的第三邊

平行于三角形的一邊,，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理1 兩角對應(yīng)相等,，兩三角形相似（asa）

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（sas）

判定定理3 三邊對應(yīng)成比例,，兩三角形相似（sss）

定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三 角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,，那么這兩個直角三角形相似

性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比

性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,，任意銳角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,，任意銳角的余切值等 于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的**

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的**

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的**

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心,，定長為半 徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡,，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距 離相等的一條直線

109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓,。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,，并且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑,，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理 在同圓或等圓中,，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 相等,，所對的弦的弦心距相等

115推論 在同圓或等圓中,，如果兩個圓心角、兩條弧,、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等,；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角,；90°的圓周角所 對的弦是直徑

119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,，那么這個三角形是直角三角形

120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它 的內(nèi)對角121①直線l和⊙o相交 d＜r

②直線l和⊙o相切 d=r

③直線l和⊙o相離 d＞r

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇四

數(shù)學(xué)圖形計算公式

1,、正方形：c周長 s面積 a邊長

周長＝邊長×4c=4a

面積=邊長×邊長s=a×a2,、正方體：v:體積 a:棱長

表面積=棱長×棱長×6s=a×a×6

體積=棱長×棱長×棱長v=a×a×a3、長方形： c周長 s面積 a邊長

周長=(長+寬)×2c=2(a+b)

面積=長×寬s=ab4,、長方體

v:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高

(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2s=2(ab+ah+bh)

(2)體積=長×寬×高v=abh5,、三角形s面積 a底 h高

面積=底×高÷2s=ah÷2

三角形高=面積 ×2÷底

三角形底=面積 ×2÷高

6、平行四邊形：s面積 a底 h高面積=底×高s=ah7,、梯形：s面積 a上底 b下底 h高面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2

分?jǐn)?shù)部分

1,、分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù),，叫做分?jǐn)?shù),。

2、分?jǐn)?shù)的加減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減,，只把分子相加減,，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減,，先通分,，然后再加減。

3,、分?jǐn)?shù)大小的比較：同分母的分?jǐn)?shù)相比較,，分子大的大，分子小的小。

4,、異分母的分?jǐn)?shù)相比較,，先通分然后再比較；若分子相同,，分母大的反而小,。

5、分?jǐn)?shù)乘整數(shù),，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,，分母不變。

6,、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母,。

7,、分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù),。

8,、真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。

9,、假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù),。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

10,、帶分?jǐn)?shù)：把假分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的形式,，叫做帶分?jǐn)?shù)。

11,、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以同一個數(shù)（0除外）,，分?jǐn)?shù)的大小不變。

12,、一個數(shù)除以分?jǐn)?shù),，等于這個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

13,、甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外）,，等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。

偶數(shù)和奇數(shù)：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù),。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù),。

質(zhì)數(shù)（素數(shù)）：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。

合數(shù)：一個數(shù),，如果除了1和它本身還有別的約數(shù),，這樣的數(shù)叫做合數(shù),。1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù),。

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇五

一,、公式s 圓柱表面積?2?r?2?rl?2?r(r?l)

??(r??r?r?l?rl)222 s圓臺表面積

s圓錐表面積??r(r?l)s圓柱側(cè)=2πrl s圓臺側(cè)=πl(wèi)（r+r)s圓錐側(cè)=πrl

s球=4πr2s直棱柱側(cè)=ch（c為底面周長，h為高）s正棱錐側(cè)=ch(c為底面周長,，h為側(cè)面等腰三角形底邊上的高)s棱臺側(cè)=（c+c）h(c,、c 為上下底面周長，h 為側(cè)面等腰梯形的高)

v錐?13?r3v球?

v臺?1

323?r3s?s?s)h 3v柱??r

二,、定理(s?? a?l?

?b?l??l??① 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),，那么這條直線在此平面內(nèi)。a???

?

b???② 過不在一條直線上的三點,，有且只有一個平面,。?

1）過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面,。

2）過兩條相交/平行直線有且只有一個平面。

③如果兩個不重合的平面有一個公共點,，那么它們有且只有一條過該點的公共直線,。

p??,且p???????l,且p?l

④空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ),。

⑤平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,，則該直線與此平面平行。（線線平行→線面平行）⑥一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,，則這兩個平面平行,。

⑦如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)兩條直線，則面面平行,。

⑧一條直線與一個平面平行,，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。（線面平行→線線平行）

⑨如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,，那么它們的交線平行,。（面面平行→線線平行）

⑩一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直,。（線線垂直→線面垂直）?一個平面過另一個平面的垂線,，則這兩個平面垂直。（線面垂直→面面垂直）

?垂直于同一個平面的兩條直線平行,。

?兩個平面垂直,，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。（面面垂直→線面垂直）